Saperlipopette, que vient faire la cohomologie en analyse numérique ?

Tel était (fidèlement traduit), le titre de l'exposé de Douglas Arnold (Université du Minnesota), le lauréat de la conférence Peter Henrici. Décernée par la Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) conjointement avec l'École polytechnique fédérale de Zurich, cette distinction lui revient cette année « pour ses contributions fondamentales d'une originalité, d'une profondeur et d'un impact extraordinaires à l'analyse par éléments finis des équations aux dérivées partielles, qui figurent parmi les classiques de la littérature sur l'analyse numérique. »

Pour justifier la question posée par son titre, Douglas Arnold commençait par un rappel de définitions : celle de Peter Henrici (le mathématicien helvético-américain qui donne son nom au prix), présentant en 1964 l'analyse numérique comme "la théorie des méthodes constructives en analyse mathématiques, en insistant sur le mot "constructives"", ou encore celle que l'on pouvait lire en 1992 dans les SIAM News : "l'analyse numérique est l'étude des algorithmes pour la résolution de problèmes de mathématiques continues" (Nick Trefethen). L'orateur soulignait cependant, citant Richard Hamming, que l'objet de tout ceci est avant tout "la compréhension, et non les chiffres".

Pour leur part, homologie et cohomologie sont des termes dont on a plutôt l'habitude en géométrie algébrique ou en topologie algébrique, l'homologie étant une technique associant des séries d'objets algébriques, comme par exemple des groupes abéliens, à d'autres objets mathématiques comme des espaces topologiques. Des objets topologiques algébriques appelés complexes de chaînes et complexes de cochaines sont liés à ces deux notions. 

Bref, deux mondes très différents à première vue. Et pourtant, graphique à l'appui, on découvrait l'envolée vertigineuse, ces vingt dernières années, du nombre de publications d'analyse numérique contenant le mot "cohomologie" .

L'exposé présentait des exemples illustrant cette tendance, où formes différentielles symplectiques, cohomologie de Rham, théorie de Hodge - autant de termes quasi-ésotériques pour les non-initiés aux branches les plus abstraites des mathématiques - s'invitaient dans la résolution de problèmes d'analyse numérique, et notamment dans le développement du FEEC (finite element exterior calculus ou calcul extérieur des éléments finis), qui formule les méthodes des éléments finis à l'aide de complexes de chaînes, avec des applications en électromagnétisme numérique, ainsi qu'en mécanique des solides et des fluides numérique.